Por el Dr. Cristo León
Última revisión: 19 de octubre de 2026.
Un hexágono de papel parece sencillo.
Podemos observar su cara frontal. Podemos voltearlo y observar su cara posterior. Nuestra intuición nos dice que esas son las superficies disponibles.
Pero imaginemos que tomamos ese hexágono, plegamos algunas de sus secciones hacia el centro y lo abrimos de una manera diferente.
Aparece otra cara.
No agregamos papel. No cortamos una nueva pieza. No pegamos una superficie adicional.
La cara ya formaba parte de la estructura, pero hasta ese momento permanecía oculta.
Estamos frente a un hexaflexágono.
Esta curiosa estructura matemática nos proporciona una nueva herramienta para continuar construyendo nuestro Sistema cósmico. Si la teselación nos permitió pensar en piezas, bordes y relaciones, el hexaflexágono introduce una propiedad diferente:
“Una estructura puede contener más de lo que podemos observar desde una configuración determinada.”– Cristo Leon, 2026
Para un mentor del juego, esta idea abre posibilidades extraordinarias.
¿Qué es un flexágono?
Un flexágono es una estructura plegada, normalmente construida con papel, que puede manipularse mediante una serie de pliegues para revelar diferentes caras.
Algunas permanecen visibles.
Otras quedan ocultas dentro de la estructura.
Al flexionar el objeto, las relaciones entre sus partes cambian y una superficie anteriormente escondida puede aparecer.
Los hexaflexágonos son una familia de estas estructuras cuya superficie visible tiene forma hexagonal y está compuesta por seis triángulos equiláteros (Gardner, 1956, 1988, 2008) La descripción original de Gardner explica precisamente que el término hexa se refiere a esos seis triángulos que forman la cara hexagonal.
Esta precisión es importante porque existe una confusión muy fácil de cometer.
Un hexaflexágono no necesariamente tiene seis caras
El nombre hexaflexágono no significa simplemente “flexágono con seis caras”.
Hexa describe la forma visible: seis secciones triangulares constituyen el hexágono.
Para indicar cuántas caras diferentes pueden revelarse mediante la flexión se agrega otro prefijo.
El modelo más sencillo es el:
trihexaflexágono
porque permite revelar tres caras diferentes.
Existe también el:
hexahexaflexágono
capaz de revelar seis caras.
Esta nomenclatura aparece ya en la explicación de Gardner: el primer modelo de Arthur H. Stone fue un trihexaflexágono de tres caras; posteriormente construyó una estructura hexagonal capaz de abrirse para mostrar seis caras diferentes, el hexahexaflexágono (Gardner, 1956).
Esta diferencia será particularmente importante cuando utilicemos la figura como analogía para nuestro cosmos.
Pero primero debemos regresar a 1939.
Un descubrimiento accidental en Princeton
La historia comienza con un problema extraordinariamente cotidiano.
Una hoja de papel no cabía en una carpeta.
En 1939, el matemático británico Arthur H. Stone (September 30, 1916 – August 6, 2000) llegó a Princeton University como estudiante de posgrado. Descubrió que las hojas de papel estadounidenses eran demasiado grandes para su carpeta inglesa.
Stone recortó aproximadamente una pulgada del papel para hacerlas caber.
Y comenzó a jugar con las tiras sobrantes.
Mientras experimentaba con diferentes pliegues, encontró una configuración extraña: podía formar un hexágono y, al flexionarlo, revelar una superficie que anteriormente permanecía escondida.
Había descubierto el trihexaflexágono (Gardner, 1956).
El descubrimiento resulta particularmente atractivo porque no nació de la intención de resolver un gran problema matemático.
Nació de jugar con una tira de papel.
Pero Stone continuó experimentando.
Eventualmente consiguió construir una estructura de la misma forma hexagonal capaz de revelar seis caras diferentes.
Y entonces el problema comenzó a atraer a otras personas.
El Princeton Flexagon Committee
Stone mostró sus construcciones a algunos colegas de Princeton.
Entre ellos se encontraban Bryant Tuckerman (November 28, 1915 – May 19, 2002), John Tukey (June 16, 1915 – July 26, 2000)y Richard Feynman (May 11, 1918 – February 15, 1988).
Los cuatro formaron informalmente el Flexagon Committee, dedicado a explorar las propiedades de aquellas extrañas estructuras. Gardner relata que los flexágonos comenzaron a aparecer en las mesas durante comidas y cenas mientras el grupo investigaba sus posibilidades matemáticas (Gardner, 1956).
Lo que había comenzado como una tira sobrante de papel se estaba convirtiendo en un problema de estructura, transformación y accesibilidad.
Y Bryant Tuckerman hizo una observación especialmente interesante.
No todas las caras eran igualmente fáciles de encontrar.
Tener seis caras no significa poder verlas todas
Imaginemos un hexahexaflexágono con seis caras:
A — B — C — D — E — F
Sabemos que todas existen.
Podríamos pensar entonces que basta con flexionar el objeto varias veces para encontrarlas una después de otra.
Pero no necesariamente ocurre así.
Algunas caras aparecen con facilidad.
Otras permanecen escondidas.
Incluso podemos entrar en un ciclo de flexiones que nos lleve repetidamente por las mismas caras sin permitirnos encontrar las restantes.
Tuckerman descubrió un procedimiento sistemático para recorrerlas: flexionar repetidamente desde un mismo vértice hasta que la estructura ya no pueda abrirse de esa manera y, entonces, cambiar al vértice adyacente.
Este procedimiento llegó a conocerse como el Tuckerman traverse.
En un hexahexaflexágono, el recorrido permite revelar las seis caras mediante un ciclo de 12 flexiones. Además, las caras no aparecen con la misma frecuencia: Gardner señala que las caras 1, 2 y 3 aparecen tres veces más frecuentemente que las caras 4, 5 y 6 (Gardner, 1956).
Esto nos revela algo importante.
El hexahexaflexágono no contiene simplemente seis superficies.
Contiene también una estructura de relaciones entre esas superficies.
Y esa estructura determina cuáles podemos observar desde una configuración determinada.
Martin Gardner y la popularización del hexaflexágono
Los experimentos del Flexagon Committee ocurrieron antes de la Segunda Guerra Mundial. El conflicto interrumpió sus investigaciones y dispersó al grupo (Gardner, 1956).
Los flexágonos reaparecieron ante un público mucho mayor en diciembre de 1956, cuando Martin Gardner publicó “Flexagons” en Scientific American.
El artículo explicaba su historia, mostraba cómo construirlos y presentaba algunas de sus sorprendentes propiedades.
Su recepción fue tan favorable que se convirtió en el antecedente de la célebre columna Mathematical Games, que Gardner desarrollaría durante aproximadamente un cuarto de siglo. El propio Scientific American identifica el artículo de diciembre de 1956 como el trabajo que inspiró aquella columna.
Gardner continuaría desarrollando el tema. El primer capítulo de su libro Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi está dedicado precisamente a los hexaflexágonos (Gardner, 2008)
Décadas después, The College Mathematics Journal volvió a publicar una versión condensada del trabajo clásico de Gardner (2012).
Pero nuestro interés en el hexaflexágono no termina en su historia matemática.
Vamos a convertirlo en una herramienta para diseñar un cosmos.
El hexaflexágono como modelo de un cosmos
Regresemos a nuestro hexahexaflexágono.
Tiene seis caras.
Imaginemos ahora que cada una representa un universo observable:
A — B — C — D — E — F
Los seis existen dentro de una misma estructura.
Pero aquí aparece la propiedad que hace al hexaflexágono especialmente interesante para nosotros:
no podemos observar necesariamente los seis al mismo tiempo.
Desde una configuración determinada podemos encontrarnos frente a A.
B puede encontrarse detrás.
C, D, E y F pueden permanecer plegados dentro de la estructura.
Sin embargo, que no podamos observarlos no significa que no existan.
Esta distinción nos permite introducir un principio fundamental del Sistema cósmico:
Existencia, observabilidad y accesibilidad no son la misma cosa.
¿Qué es un universo observable?
En nuestro Sistema cósmico, utilizaremos universo observable para describir un espacio de realidad que puede ser experimentado y comprendido desde una determinada posición dentro del cosmos.
No necesitamos interpretar observable exclusivamente en el sentido astronómico.
Aquí es también una condición narrativa y epistemológica. Por ejemplo, un espacio de juego como Forgotten Realms, Ravenloft o Dragonlance.
Imaginemos un personaje nacido en el universo A.
Conoce sus continentes.
Conoce su historia.
Puede estudiar sus leyes físicas o mágicas.
Puede desarrollar una cosmología.
Puede mirar hacia el cielo y construir instrumentos para estudiar su realidad.
Incluso puede llegar razonablemente a la conclusión de que:
A es todo lo que existe.
Desde su posición, esa conclusión puede tener perfecto sentido.
Pero el mentor del juego sabe algo que el personaje todavía desconoce:
A es solamente una de las caras observables del cosmos.
B, C, D, E y F también existen.
Simplemente no son accesibles desde la configuración actual.
Observable no significa único
Esta es quizá la primera gran lección que podemos tomar del hexaflexágono.
Cuando observamos una de sus caras, las otras no dejan de existir.
Permanecen incorporadas dentro de la misma estructura.
Lo mismo puede ocurrir con nuestros universos.
Un personaje puede vivir toda su vida dentro de A sin encontrar evidencia de B.
Una civilización completa puede desarrollar miles de años de historia sin descubrir C.
Incluso podemos desarrollar una campaña entera dentro de D sin revelar jamás que existen E y F.
Eso no significa que el mentor del juego tenga que inventarlos posteriormente.
Pueden haber formado parte de la estructura desde el principio.
Lo desconocido no tiene que ser inexistente.
Puede ser simplemente inaccesible.
Viajar entre universos no es simplemente moverse
Aquí el hexaflexágono nos ofrece una segunda herramienta.
Si nuestros universos fueran simplemente lugares separados por distancia, viajar entre ellos sería fundamentalmente un problema de desplazamiento:
A → B
Necesitamos una nave suficientemente rápida, un portal suficientemente poderoso o una cantidad suficiente de tiempo.
Pero el hexaflexágono propone algo diferente.
Para revelar determinadas caras debemos reconfigurar la estructura.
Por eso, quizá para llegar de A a F tengamos que recorrer:
A → C → B → F
No porque F esté más lejos que B.
Sino porque la estructura determina qué transiciones son posibles desde cada configuración.
Esta idea cambia radicalmente las posibilidades para el mentor del juego.
El viaje entre universos no necesita depender exclusivamente de portales.
Una transición podría requerir:
- un acontecimiento;
- una decisión;
- un objeto;
- un ritual;
- un sueño;
- una muerte;
- una paradoja;
- una configuración temporal;
- una determinada combinación de personajes;
- o una convergencia entre acontecimientos ocurridos en diferentes universos.
La pregunta deja entonces de ser:
¿Cómo viajamos hasta allí?
y se convierte en:
¿Qué debe cambiar para que ese universo sea accesible?
El cosmos puede cambiar sin crear nada nuevo
Existe además una diferencia narrativa muy importante entre dos acontecimientos:
crear un nuevo universo
y
revelar un universo que ya existía.
Para los jugadores, ambos pueden sentirse como el descubrimiento de algo completamente nuevo.
Pero para el mentor del juego son herramientas diferentes.
Imaginemos que durante diez sesiones los personajes solamente conocen A.
Entonces ocurre un acontecimiento que modifica la configuración del cosmos.
Aparece B.
Los jugadores pueden creer inicialmente que B acaba de surgir.
Quizá incluso los habitantes de A desarrollen esa misma teoría.
Pero posteriormente descubrimos que B siempre estuvo allí.
Lo que cambió no fue su existencia.
Cambió su accesibilidad.
El hexaflexágono hace esta diferencia visible de una manera extraordinariamente sencilla.
No todos los universos necesitan ser igualmente accesibles
El Tuckerman traverse nos proporciona todavía otra idea.
Recordemos que, incluso dentro de la estructura matemática, algunas caras aparecen con mayor frecuencia que otras (Gardner, 1956).
Podemos trasladar esta propiedad al diseño narrativo.
Quizá A, B y C constituyan universos relativamente accesibles.
Los personajes pueden pasar entre ellos con cierta regularidad.
Mientras tanto:
D, E y F son difíciles de alcanzar.
Esto nos permite construir diferentes niveles de accesibilidad dentro del cosmos.
No todos los universos tienen que tener la misma importancia narrativa.
No todos tienen que aparecer durante la primera campaña.
Y no todos necesitan obedecer las mismas reglas de transición.
Podemos incluso imaginar personajes atrapados dentro de un ciclo:
A → B → C → A → B → C…
Saben que algo falta.
Encuentran rastros de D.
Quizá poseen objetos que no pueden proceder de ninguno de los tres universos conocidos.
Pero no consiguen encontrar la transición correcta.
El misterio ya no consiste simplemente en descubrir dónde está D.
Consiste en descubrir:
¿cómo debemos reconfigurar el cosmos para hacerlo accesible?
El mentor del juego conoce más que los personajes
Esta estructura también nos ayuda con un problema frecuente del worldbuilding.
Cuando comenzamos una campaña podemos sentir que necesitamos explicar inmediatamente toda nuestra cosmología.
No es necesario.
Esto nos ofrece otra posibilidad:
“El hexaflexágono diseña una estructura mayor que aquello que permites observar inicialmente.” – Cristo León, 2026
Los personajes comienzan en A.
Conocen A.
Construyen teorías sobre A.
Entonces ocurre algo.
La estructura se flexiona.
Aparece B.
Más adelante descubren C.
Inicialmente pueden pensar que A, B y C son anomalías independientes.
Pero eventualmente descubren relaciones entre ellos.
Y entonces aparece una nueva posibilidad:
quizá formen parte de una estructura mayor.
D existe.
Después E.
Finalmente F.
El cosmos crece desde la perspectiva de los personajes.
Pero no necesariamente desde la perspectiva del mentor del juego.
La estructura podía estar allí desde el principio.
De la teselación al hexaflexágono
En nuestra exploración anterior utilizamos la teselación para comprender cómo diferentes piezas pueden formar una estructura mayor sin perder necesariamente su identidad.
De allí obtuvimos tres conceptos:
piezas + bordes + relaciones
El hexaflexágono agrega algo nuevo.
Las piezas no solamente se relacionan.
La estructura puede reconfigurarse.
Y esa reconfiguración modifica aquello que podemos observar y aquello a lo que podemos acceder.
Podemos entonces comenzar a construir una secuencia conceptual:
Teselación → relación
Las piezas encajan y sus bordes establecen relaciones.
Hexaflexágono → accesibilidad
La configuración determina qué partes de la estructura pueden revelarse como en la analogía del caleidoscopio.
Caleidoscopio → reflexión y emergencia
Las partes se reflejan entre sí y producen patrones que ninguna contiene individualmente.
Estas analogías no pretenden afirmar que un cosmos ficticio sea literalmente una teselación, un hexaflexágono o un caleidoscopio matemático.
Son herramientas de diseño.
Cada una nos permite pensar en una propiedad diferente de una estructura compleja.
El principio del hexaflexágono
Podemos finalmente formular el principio que incorporaremos a nuestro Sistema cósmico:
“Un cosmos puede contener universos que existen simultáneamente dentro de una misma estructura aunque no todos sean observables o accesibles desde una configuración determinada.” – Cristo León, 2026
Esta idea cambia las preguntas que hacemos como mentores del juego.
Ya no preguntamos solamente:
- ¿Cuántos universos existen?
También preguntamos:
- ¿Cuál es observable ahora?
- ¿Cuáles permanecen ocultos?
- ¿Cuáles son accesibles desde este universo?
- ¿Qué transición permite revelar otro?
- ¿Existen universos que solamente pueden alcanzarse desde determinadas configuraciones?
- ¿Puede alguien quedar atrapado recorriendo siempre los mismos universos?
- ¿Qué rastros puede dejar un universo que todavía no es accesible?
Y quizá la pregunta más importante:
- ¿Qué tendría que ocurrir para que los personajes comprendieran que los mundos que conocen son solamente diferentes caras de una estructura mayor?
Cuando comenzamos a responder estas preguntas, dejamos de diseñar solamente una colección de mundos.
Comenzamos a diseñar la geometría narrativa de un cosmos.
Referencias
Gardner, M. (1956). Flexagons. Scientific American, 195(6), 162–168. https://doi.org/https://doi.org/10.1038/scientificamerican1256-162
Gardner, M. (1988). Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First “Scientific American” Book of Puzzles and Games. The University of Chicago Press. http://archive.org/details/B-001-004-123
Gardner, M. (2008). Hexaflexagons, Probability Paradoxes, and the Tower of Hanoi: Martin Gardner’s First Book of Mathematical Puzzles and Games (2nd ed.). Cambridge University Press.
Gardner, M. (2012). Hexaflexagons. The College Mathematics Journal, 43(1), 2–5. https://doi.org/10.4169/college.math.j.43.1.002